Eau minérale et calcium

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. L’eau provient de deux sources (source \(\text{A}\) et source \(\text{B}\)).
\(70\; \%\) des bouteilles produites chaque jour contiennent de l’eau de la source \(\text{A}\). Les autres
bouteilles contiennent de l’eau de la source \(\text{B}\).
Lorsque le taux de calcium de l’eau contenue dans une bouteille dépasse \(6{,}5\) mg par litre, on
dit que l’eau de cette bouteille est calcaire.

1. On admet que \(9\; \%\) des bouteilles de la source \(\text{A}\) contiennent de l’eau calcaire et que \(7\; \%\) des bouteilles de la source \(\text{B}\) contiennent de l’eau calcaire. On prélève au hasard une bouteille dans la production d’une journée. On note :

• \(\text{A}\) l’événement : « la bouteille contient de l’eau de la source \(\text{A}\) »
  
• \(\text{B}\) l’événement : « la bouteille contient de l’eau de la source \(\text{B}\) »
  
• \(\text{C}\) l’événement : « la bouteille contient de l’eau calcaire »
  
• \(\overline{\text{C}}\) l’événement contraire de l’événement \(\text{C}\).
  

    a. Donner les valeurs des probabilités \(P(\text{A})\), \(P(\text{B})\), \(P_\text{A}(\text{C})\) et \(P_\text{B}(\text{C})\).
    b. Représenter la situation aléatoire par un arbre de probabilités.
    c. Calculer la probabilité que la bouteille prélevée contienne de l’eau calcaire. Écrire le détail des calculs.

2. Dans un stock important de bouteilles produites, \(8\; \%\) des bouteilles contiennent de
l’eau calcaire. On prélève au hasard \(40\) bouteilles dans le stock. Le stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de \(40\) bouteilles. On note \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement de \(40\) bouteilles le nombre de bouteilles de ce prélèvement qui contiennent de l’eau calcaire.
    a. Quelle est la loi de la variable aléatoire \(X\) ? On ne demande pas de justification.
    b. Calculer \(P(X\leqslant4)\). Arrondir au millième. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.